대칭 쌍선형 형식

대칭 쌍선형 형식의 핵심은 대칭성과 쌍선형성이라는 두 가지 기본 성질에 있다. 이 두 성질은 형식의 모든 행동을 규정하며, 이를 통해 다양한 기하학적 및 대수적 구조를 정의할 수 있다.

먼저 쌍선형성은 두 개의 벡터 변수를 가진 함수가 각 변수에 대해 따로 보았을 때 선형 변환의 성질을 가짐을 의미한다. 구체적으로, 쌍선형 형식 B가 주어졌을 때, 첫 번째 벡터 v를 고정하면 B(v, •)는 두 번째 벡터에 대한 선형 함수가 되며, 두 번째 벡터 w를 고정하면 B(•, w)는 첫 번째 벡터에 대한 선형 함수가 된다. 이 성질은 덧셈과 스칼라 곱에 대한 분배 법칙을 보장한다.

대칭성은 두 벡터의 역할을 바꾸어도 형식의 값이 변하지 않는 성질, 즉 B(v, w) = B(w, v)가 성립함을 말한다. 이 성질은 형식이 생성하는 이차 형식과 깊이 연결되어 있다. 모든 대칭 쌍선형 형식 B는 고유한 이차 형식 Q(v) = B(v, v)를 정의하며, 반대로 이 이차 형식으로부터 원래의 대칭 쌍선형 형식을 복원할 수 있다. 이 관계는 극화 항등식을 통해 명확히 드러난다.

이 두 성질이 결합되면, 대칭 쌍선형 형식은 벡터 공간에 길이와 각도의 개념을 부여하는 내적의 일반화된 형태로 작용한다. 내적은 양의 정부호라는 추가 조건을 만족하는 특별한 대칭 쌍선형 형식이다. 또한, 미분기하학에서 리만 계량은 각 접공간에 정의된 매끄러운 대칭 쌍선형 형식으로 이해된다.

모든 대칭 쌍선형 형식은 유일한 이차 형식을 결정하며, 반대로 모든 이차 형식은 유일한 대칭 쌍선형 형식을 복원할 수 있다. 이 둘 사이에는 일대일 대응 관계가 성립한다. 구체적으로, 주어진 대칭 쌍선형 형식 B에 대응하는 이차 형식 Q는 Q(v) = B(v, v)로 정의된다. 즉, 이차 형식은 대칭 쌍선형 형식의 대각선 성분만을 취한 것이다.

반대로, 주어진 이차 형식 Q로부터 원래의 대칭 쌍선형 형식 B를 복원하는 공식이 존재한다. 이는 극화 항등식으로 알려져 있으며, B(v, w) = (1/2)[Q(v+w) - Q(v) - Q(w)] 와 같이 표현된다. 이 공식을 통해 이차 형식의 정보만으로도 두 벡터 간의 쌍선형 관계를 완전히 복원할 수 있다.

이러한 관계는 이차 형식을 연구하는 데 있어 대칭 쌍선형 형식이라는 강력한 도구를 제공한다. 예를 들어, 이차 형식의 정부호성을 판별하거나 표준형을 찾는 문제는, 해당하는 대칭 쌍선형 형식의 행렬 표현을 분석하는 선형대수학적 문제로 환원된다. 또한, 미분기하학에서 리만 계량은 각 접공간 위에 정의된 매끄러운 대칭 쌍선형 형식으로, 이는 각 점에서의 거리 제곱을 주는 이차 형식과 동등한 정보를 담고 있다.

대칭 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간에서 기저를 선택하면 정사각 행렬로 표현할 수 있다. 주어진 기저 {e_1, ..., e_n}에 대해, 형식 B의 행렬 표현 M은 성분 M_ij = B(e_i, e_j)로 정의된다. 대칭성 B(v, w) = B(w, v)은 행렬 M이 전치 행렬과 같다는 조건, 즉 M = M^T로 나타난다. 따라서 대칭 쌍선형 형식의 행렬 표현은 항상 대칭 행렬이다.

벡터 x와 y를 같은 기저에 대한 좌표 벡터로 나타내면, 형식의 값 B(x, y)는 행렬 곱을 통해 y^T M x 또는 x^T M y로 계산된다. 이 표현은 계산을 용이하게 하며, 기저의 변환에 따른 행렬의 변화를 분석하는 데 핵심적이다. 새로운 기저로 변환할 때, 행렬 표현은 합동 변환을 겪게 된다.

행렬 표현을 통해 대칭 쌍선형 형식의 여러 성질을 효율적으로 연구할 수 있다. 예를 들어, 형식이 양의 정부호인지 판별하는 것은 대응하는 대칭 행렬의 모든 고윳값이 양수인지 확인하는 문제와 동치이다. 또한, 대각화 이론을 적용하여 적절한 기저를 찾아 형식을 표준형으로 변환하는 것이 가능해진다.

실수체 또는 복소수체 위의 벡터 공간에서 정의된 대칭 쌍선형 형식은 그 값의 부호에 따라 중요한 분류를 가진다. 이 분류는 형식이 정의하는 기하학적 구조를 이해하는 데 핵심적이다.

주어진 대칭 쌍선형 형식 B에 대해, 영벡터가 아닌 모든 벡터 v에 대한 B(v, v)의 부호를 기준으로 다음과 같이 분류한다.

양의 정부호 대칭 쌍선형 형식은 내적을 정의하여 벡터의 길이와 각도를 논할 수 있게 한다. 이는 유클리드 기하학의 기초가 된다. 반면, 부정부호 형식은 상대성 이론의 수학적 틀인 민코프스키 공간에서 시공간 간격을 계산하는 데 사용된다.

대칭 쌍선형 형식은 내적 공간을 정의하는 핵심적인 도구이다. 일반적으로 알려진 유클리드 공간의 표준 내적은 대칭 쌍선형 형식의 가장 대표적인 예시이며, 이는 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 데 사용된다.

보다 일반적인 벡터 공간에서 내적을 정의하려면, 주어진 쌍선형 형식이 특정한 조건을 만족해야 한다. 이 조건은 바로 대칭성과 함께 양의 정부호 성질이다. 즉, 영벡터가 아닌 모든 벡터 v에 대해 B(v, v) > 0 이어야 진정한 의미의 내적이 된다. 이러한 조건을 만족하는 대칭 쌍선형 형식을 종종 내적이라고 부른다.

내적 공간에서는 이 형식을 통해 노름과 거리 함수를 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 바탕으로 해석학과 기하학의 다양한 개념을 확장할 수 있다. 예를 들어, 함수 공간에서도 적절한 대칭 쌍선형 형식을 내적으로 정의하여 푸리에 해석이나 미분방정식의 이론을 전개하는 데 활용한다.

따라서 대칭 쌍선형 형식은 유한차원 뿐만 아니라 무한차원 벡터 공간에서도 핵심적인 기하학적 구조를 제공하는 수학적 객체로, 리만 기하학의 리만 계량 또한 다양체의 각 점에서 정의된 대칭 쌍선형 형식의 장으로 이해할 수 있다.

대칭 쌍선형 형식은 이차 형식의 극값, 즉 최대값과 최소값을 찾는 문제를 연구하는 데 핵심적인 도구로 활용된다. 이 문제는 최적화 이론과 수리물리학 등 다양한 분야에서 나타난다.

주어진 이차 형식 Q(x) = B(x, x)의 극값을 구할 때, 주로 단위 구면 ||x|| = 1 위에서의 행동을 조사한다. 이때 극값은 대칭 쌍선형 형식 B를 나타내는 행렬 A의 고윳값과 직접적으로 연결된다. 구체적으로, 단위 구면 위에서 이차 형식 Q(x)가 취할 수 있는 최대값과 최소값은 각각 행렬 A의 가장 큰 고윳값과 가장 작은 고윳값과 일치한다.

이 결과는 레일리 몫이라는 개념을 통해 엄밀하게 설명된다. 레일리 몫 R(x) = (x^T A x) / (x^T x)의 최대값과 최소값이 고윳값이 된다는 최대-최소 정리가 그 근거를 제공한다. 따라서, 고윳값 문제를 푸는 것은 이차 형식의 극값 문제를 푸는 것과 동치가 된다.

이러한 이론은 주축 정리를 통해 기하학적으로도 이해할 수 있다. 주축 정리에 따라 좌표계를 회전시켜 이차 형식을 표준형으로 변환하면, 새로운 좌표축 방향이 바로 극값이 발생하는 방향이며, 그 계수들이 극값의 크기가 된다. 이는 관성 텐서의 주축을 찾거나 통계학의 주성분 분석과 같은 실용적인 문제 해결에 널리 적용된다.

교대 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식과 밀접하게 관련된 개념이다. 이는 두 벡터의 순서를 바꾸면 결과값의 부호가 반대가 되는 성질, 즉 반대칭성을 가진 쌍선형 형식을 의미한다. 구체적으로, 벡터 공간 V 위의 교대 쌍선형 형식 B는 모든 벡터 v, w ∈ V에 대해 B(v, w) = -B(w, v)를 만족한다.

교대 쌍선형 형식의 주요 성질 중 하나는 모든 벡터 v에 대해 B(v, v) = 0이 성립한다는 점이다. 이는 반대칭성에서 직접 유도되는 결과로, 대칭 쌍선형 형식이 이차 형식과 자연스럽게 연결되는 것과는 대조적이다. 또한, 표수가 2가 아닌 체 위에서는 교대 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식이 동일한 개념이 된다.

교대 쌍선형 형식의 대표적인 예는 행렬식이다. 두 열벡터를 입력으로 받아 스칼라를 출력하는 행렬식 함수는 교대성을 가진다. 또한, 미분기하학에서 심플렉틱 형식은 닫힌 교대 2-형식으로 정의되며, 해밀턴 역학의 기하학적 틀을 제공하는 핵심 구조다.

이 형식은 선형대수학에서 행렬의 스큐-대칭 행렬 표현과 연결되며, 리 대수의 구조를 정의하는 데에도 사용된다. 따라서 대칭 쌍선형 형식이 거리와 각도를 다루는 유클리드 기하학의 기초라면, 교대 쌍선형 형식은 면적이나 방향성 있는 부피, 그리고 심플렉틱 기하학과 같은 다른 기하학적 구조를 이해하는 데 필수적이다.

에르미트 형식은 복소수 벡터 공간에서 정의되는, 대칭 쌍선형 형식의 복소수 버전에 해당하는 개념이다. 실수체 위의 대칭 쌍선형 형식이 두 벡터의 순서를 바꾸어도 값이 동일한 대칭성을 가진다면, 에르미트 형식은 두 벡터의 순서를 바꾸고 동시에 복소켤레를 취했을 때 값이 동일한 성질, 즉 에르미트성을 가진다.

구체적으로, 복소수 벡터 공간 V 위의 에르미트 형식 H는 두 벡터 v, w를 입력받아 복소수를 출력하며, 다음 두 성질을 만족한다. 첫째, 첫 번째 변수에 대해 선형이다. 둘째, 두 번째 변수에 대해 반선형이며, H(v, w) = H(w, v)의 복소켤레가 성립한다. 이 에르미트성은 실수체로 한정하면 대칭성과 일치하게 되어, 에르미트 형식은 대칭 쌍선형 형식의 자연스러운 확장이 된다.

에르미트 형식의 가장 중요한 응용은 복소 내적 공간을 정의하는 데 있다. 양의 정부호 에르미트 형식은 복소 벡터 공간 위의 내적으로 사용되며, 이를 통해 벡터의 길이와 각도를 정의할 수 있다. 또한, 양자역학과 같은 물리학 분야에서 상태 벡터의 내적을 기술하거나, 함수해석학에서 힐베르트 공간의 구조를 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.

에르미트 형식은 행렬로 표현될 때 에르미트 행렬에 해당한다. 즉, 어떤 기저에 대한 표현 행렬 A가 자신의 켤레 전치 행렬과 동일할 때(A = A*), 해당 형식은 에르미트 형식이 된다. 이는 실수에서 대칭 쌍선형 형식의 표현 행렬이 전치에 대해 대칭인 것과 유사한 대응 관계이다.